题目内容
【题目】探究题
已知：如图1，
，
．求证：
．
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 .
（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线
，然后在平行线间画了一点
，连接
后，用鼠标拖动点，分别得到了图2，3，4，小颖发现图3正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图2和4中的
、
与
之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图2中、与之间的数量关系并加以证明；
②补全图4，直接写出、与之间的数量关系.
【答案】（1）两直线平行同旁内角互补；（2）①∠BDF=∠B+F；②∠F=∠B+∠BDF
【解析】
(1)根据两直线平行同旁内角互补即可解决问题；
(2)①猜想∠BDF=∠B+∠F.过点D作CD//AB.利用平行线的性质即可解决问题；
②∠BDF与∠F之间的数量关系是∠F=∠B+∠BDF.利用平行线的性质已经三角形的外角的性质即可解决问题；
．
：(1)两直线平行同旁内角互补．
故答案为两直线平行同旁内角互补．
(2)①猜想∠BDF=∠B+∠F．
证明：过点D作CD//AB．
∴∠B=∠BDC．
∵AB//EF，∴CD//EF．
∴∠CDF=∠F．
∵∠BDF=∠BDC+∠CDF，
∴∠BDF=∠B+F．
②补全图形如图所示：∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系是∠F=∠B+∠BDF．
理由：∵AB//EF，
∴∠1=∠F，
∵∠1=∠B+∠D，
∴∠F=∠B+∠BDF．
故答案为∠F=∠B+∠BDF．
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