Question

【题目】已知：点M、N分别是x轴y轴上的动点，点P、Q是某个函数图象上的点，当四边形MNPQ为正方形时，称这个正方形为此函数的“梦幻正方形”例如：如图1所示，正方形MNPQ是一次函数y＝﹣x+2的其中一个“梦幻正方形”．

（1）若某函数是y＝x+5，求它的图象的所有“梦幻正方形”的边长；

（2）若某函数是反比例函数y＝（k＜0）（如图2所示），它的图象的“梦幻正方形”ABCD，D（﹣4，m）（m＜4）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式．

Answer 1

【答案】（1）一次函数y＝x+5图象的“梦幻正方形”的边长为5或；（2）m＝2．反比例函数的解析式为y＝﹣

【解析】

（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长；

（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点的坐标表示出点C的坐标，再利用待定系数法得到一个关于m、k方程组，然后求解即可．

（1）如图1，当点M在x轴正半轴，点N在y轴负半轴上时

∴正方形MNPQ的边长

设小正方形的边长为a

则

解得，即小正方形边长为

故一次函数图象的“梦幻正方形”的边长为或；

（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴

易知

∴C点坐标为

将点C、D坐标代入反比例函数的解析式得

解得

故反比例函数的解析式为．