题目内容
（2013•淮安）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．（1）当ι=
7
7
时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．
①求s与ι之间的函数关系式；
②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由A到B的过程中，利用方程即可求得；
（2）分Q从C到A的时间是3秒，P从B到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t-3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．
（2）分Q从C到A的时间是3秒，P从B到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t-3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．
解答：解：（1）在直角△ABC中，AC=
=4，
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5-4.5=7.5．
根据题意得：（t-4.5）+2（t-4.5）=7.5，解得：t=7．
（2）Q从C到A的时间是2秒，P从B到C的时间是3秒．
则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3-t=2t，解得：t=1．
当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=
PC．△AQH∽△ABC，
在直角△AQH中，AQ=2t-4，则QH=
AQ=
(2t-4)．
∵PC=BC-BP=3-t，
∴
（2t-4）=
（3-t），
解得：t=
；
（3）连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，
则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t-3，BQ=2t-9，即AQ=5-（2t-9）=14-2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：
（14-2t），
故s=
（t-3）×
（14-2t）=
（-t2+10t-21）．
故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）．
∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，
∴PD一定是AC的中垂线．
则AP=
AC=2，PD=
BC=
，
AQ=14-2t=14-2×5=4．
则PC边上的高是：
AQ=
×4=
．
∵∠COF=∠CDP=∠B，
所以，tan∠COF=
，设OF为x，
则利用三角函数得CF=
，PF=2-
，
则QE=
，AE=
，
∴PE=
，
∵△POF∽△PQE，
∴
=
，
解得：x=
，
S△PCO=
×2×
=
．
| AB2-BC2 |
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5-4.5=7.5．
根据题意得：（t-4.5）+2（t-4.5）=7.5，解得：t=7．
（2）Q从C到A的时间是2秒，P从B到C的时间是3秒．
则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3-t=2t，解得：t=1．
当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=
| 1 |
| 2 |
在直角△AQH中，AQ=2t-4，则QH=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∵PC=BC-BP=3-t，
∴
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
解得：t=
| 39 |
| 17 |
（3）连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，
则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t-3，BQ=2t-9，即AQ=5-（2t-9）=14-2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：
| 3 |
| 5 |
故s=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）．
∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，
∴PD一定是AC的中垂线．
则AP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
AQ=14-2t=14-2×5=4．
则PC边上的高是：
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
∵∠COF=∠CDP=∠B，
所以，tan∠COF=
| 4 |
| 3 |
则利用三角函数得CF=
| 4x |
| 3 |
| 4x |
| 3 |
则QE=
| 12 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
∴PE=
| 6 |
| 5 |
∵△POF∽△PQE，
∴
| OF |
| QE |
| PF |
| PE |
解得：x=
| 12 |
| 11 |
S△PCO=
| 1 |
| 2 |
| 12 |
| 11 |
| 12 |
| 11 |
点评：本题是相似三角形的性质，勾股定理、以及方程的综合应用，正确进行分类讨论是关键．
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