Question

8．已知：如图，分别以△ABC的边AB、AC为边长向△ABC外作正方形ABEF和正方形ACNM，点D是BC的中点，连接AD、FM．
（1）求证：FM=2AD；
（2）若AB=6，AC=8，∠BAC=60°，求多边形BCNMFE的面积．

Answer 1

分析 在AD的延长线上取点K，使AD=DK，连接BK、CK，则四边形ABDC是平行四边形ABNC，得到CK=AB，∠BAC+∠ACK=180°，根据四边形ABEF、ACNM是正方形，易证AF=AB=CK，AM=AC，∠FAM=∠ACK，根据SAS证明△ACK≌△AMF即可证明FM=AK=2AD．

解答 证明：在AD的延长线上取点K，使AD=DK，连接BK、CK，
∵D是BC的中点，AD=DK，
∴四边形ABKC是平行四边形ABNC，
∴CK=AB，∠BAC+∠ACK=180°，
∵四边形ABEF、ACNM是正方形，
∴AF=AB，AM=AC，∠BAF=∠CAM=90°，
∴AF=CK，∠BAC+∠FAM=360°-∠BAF-∠CAM=180°，
∴∠FAM=∠ACK，
在△ACK和△AMF中，
 $\left\{\begin{array}{l}{AF=CK}\\{∠FAM=∠ACK}\\{AM=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACK≌△AMF，
∴FM=AK，
∵AK=AD+DK=2AD，
∴FM=2AD．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及平行四边形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的关键．