Question

如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求弦BD的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

       （1）证明：连接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∵∠CDB=∠OBD，

∴CD∥AB，

又∵AC∥BD，

∴四边形ABDC为平行四边形，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC

又∵OC是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，OC⊥AC．

∵AC∥BD，

∴OC⊥BD，

∴BE=DE，

∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，

∴BE=OBcos30°=3，

∴BD=2BE=6；

（3）解：易证△OEB≌△CED，

∴S_阴影=S_扇形BOC

∴S_阴影==6π．

答：阴影部分的面积是6π．