Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D．

（1）求证：∠BAO=∠CAD；
（2）若BE⊥AC于E，连接DE，求证：OC⊥DE．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）连接OB，如图1，由OA=OB得∠BAO=∠ABO，再利用三角形内角和定理得∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠C，所以∠BAO+∠C=90°，然后利用AD⊥BC得到∠C+∠CAD=90°，易得∠BAO=∠CAD；
（2）如图2，连接OB，利用（1）的结论得到∠1=∠3，则∠ABE=∠OBC，加上∠2=∠OBC，则∠2=∠ABE，根据圆周角定理的推理得到点E和点D在以AB为直径的圆上，利用圆内接四边形的性质得∠4=∠BAE，由于∠BAE+∠ABE=90°，所以∠2+∠4=90°，于是根据垂直的定义即可得到OC⊥DE．

解答：（1）证明：连接OB，如图1，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO，
∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°，
而∠AOB=2∠C，
∴2∠BAO+2∠C=180°，即∠BAO+∠C=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠CAD；
（2）证明：如图2，连接OB，由BE⊥AC，利用（1）的结论得到∠1=∠3，
∴∠1+∠OBE=∠3+∠OBE，即∠ABE=∠OBC
∵OB=OC，
∴∠2=∠OBC，
∴∠2=∠ABE，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴点E和点D在以AB为直径的圆上，
∴∠4=∠BAE，
而∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴OC⊥DE．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．通常把证明垂直的问题转化为证明三角形为直角三角形．