Question

2．如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时测得小船C的俯角是∠FDC=30°．若小华的眼睛与地面的距离是$\sqrt{3}$米，BG=1.5米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=10米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长是多少？（结果保留根号）

Answer 1

分析 过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，根据迎水坡AB的坡度i=4：3，坡长AB=10米，得出DH，CH的长，进而利用tan∠DCH=$\frac{DH}{CH}$=tan30°，求出CA即可．

解答 解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
∵i=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{4}{3}$，AB=10米，
∴BE=8，AE=6．
∵DG=$\sqrt{3}$，BG=1.5，
∴DH=DG+GH=$\sqrt{3}$+8，
AH=AE+EH=6+1.5=7.5．
在Rt△CDH中，
∵∠C=∠FDC=30°，DH=8+$\sqrt{3}$，tan30°=$\frac{DH}{CH}$=$\frac{8+\sqrt{3}}{CH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CH=8$\sqrt{3}$+3．
又∵CH=CA+7.5，
即8$\sqrt{3}$+3=CA+7.5，
∴CA=8$\sqrt{3}$-4.5（米）．
答：CA的长约是（8$\sqrt{3}$-4.5）米．

点评 此题考查了直角三角形的应用，用到的知识点是坡角的定义以及锐角三角函数的应用，根据已知构造直角三角形得出tan∠DCH=$\frac{DH}{CH}$是本题的关键．