题目内容

如图，AB∥ED，
证明：2（∠A+∠E）=∠B+∠C+∠D．

证明：∵AB∥ED，
∴∠A+∠E=180°，
∴2（∠A+∠E）=360°，
过点C作直线CF∥ED交AE于点F，延长直线AB，
∵ED∥AB，
∴ED∥CF∥AH，
∴∠ABC+∠FCH=∠FCD+∠D=180°，
∴∠ABC+∠FCH+∠FCD+∠D=360°，即∠B+∠C+∠D=360°，
∴2（∠A+∠E）=∠B+∠C+∠D．

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22、填空，完成下列证明过程．
如图，△ABC中，∠B=∠C，D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BD=CE，∠DEF=∠B，
求证：ED=EF．
证明：∵∠DEC=∠B+∠BDE（

三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和

），
又∵∠DEF=∠B（已知），
∴∠

（等式性质）．
在△EBD与△FCE中，
∠

（已证），

（已知），
∠B=∠C（已知），
∴△EBD≌△FCE（ASA）．
∴ED=EF（全等三角形的对应边相等）．

（2012•惠山区一模）阅读与证明：
如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF=45°，

求证：BF+DE=EF．
分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF+DE相等的线段．如图1延长ED至点F′，使DF′=BF，连接A F′，易证△ABF≌△ADF′，进一步证明△AEF≌△AEF′，即可得结论．
（1）请你将下面的证明过程补充完整．
证明：延长ED至F′，使DF′=BF，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
∴△ABF≌△ADF’（SAS）
应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上．
（2）设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；
（3）设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式：

填空，完成下列证明过程．
如图，△ABC中，∠B=∠C，D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BD=CE，∠DEF=∠B
求证：ED=EF．
证明：∵∠DEC=∠B+∠BDE

三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和

三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和

，
又∵∠DEF=∠B（已知），∴∠

（等式性质）．
在△EBD与△FCE中，
∠

（已证），

（已知），∠B=∠C（已知），
∴△EBD≌△FCE

全等三角形对应边相等

全等三角形对应边相等

将一张矩形纸板沿对角线剪开得到两个三角形，△ABC与△DEF，∠B=∠E=90°，如图①所示．
（1）将△ABC与△DEF按如图②方式摆放，使点B与E重合，点C、B、E、F在同一条直线上，边AB与DE重合，连接CD、FA，并延长FA交CD于G．试证：FA⊥CD
（2）在（1）所述基础上，将纸板△ACB沿直线CF向右平移，并剪去ED右侧部分，此时CA与ED的交点为A₁，连接CD、FA₁，并延长FA₁交CD于G，如图③所示，直线FA₁和CD的位置关系是

（直接写出）
（3）在（2）所述基础上，将纸板△A₁CE绕点E逆时针旋转α度（0°＜α＜90°）至如图④所示位置，连接CD、FA₁，CD与FA₁交于点G，试判断FA₁与CD的位置关系？并说明理由．

阅读与证明：
如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF=45°，

求证：BF+DE=EF．
分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF+DE相等的线段．如图1延长ED至点F′，使DF′=BF，连接A F′，易证△ABF≌△ADF′，进一步证明△AEF≌△AEF′，即可得结论．
（1）请你将下面的证明过程补充完整．
证明：延长ED至F′，使DF′=BF，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
∴△ABF≌△ADF’（SAS）
应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上．
（2）设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；
（3）设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式：______．