题目内容

如图1，直线l₁：y=2x与直线l₂：y=-3x+6相交于点A，直线l₂与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n分别交直线l₁、直线l₂于P、Q两点（点P在Q的左侧）
（1）点A的坐标为______；
（2）如图1，若点P在线段AO上，在x轴上是否存在一点H，使得△PQH为等腰直角三角形，若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2．若以点P为直角顶点，向下作等腰直角△PQF，设△PQF与△AOB重叠部分的面积为S，求S与n的函数关系式；并注明n的取值范围．

解：（1）∵直线l₁：y=2x与直线l₂：y=-3x+6相交于点A，
∴2x=-3x+6，
解得：x= $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ，
∴点A的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（2）令y=n，则n=2x，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴点P（ $\text{[math]}$ ，n），
n=-3x+6，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴点Q（ $\text{[math]}$ ，n），
∴ $\text{[math]}$ ，
作PH⊥x轴于H，如图1．当PH=PQ时△PQH为等腰直角三角形，
∴ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴H₁（ $\text{[math]}$ ，0），
作QH⊥x轴于H，如图（备用图），当QH=PQ时△PQH为等腰直角三角形，
同理可得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴H₂（ $\text{[math]}$ ，0），
当PH=HQ且∠PHQ=90°时，△PQH为等腰直角三角形HG⊥PQ，可得PQ=2HG，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴H₃（ $\text{[math]}$ ，0），
∴H点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），（ $\text{[math]}$ ，0），（ $\text{[math]}$ ，0）；

（3）当 $\text{[math]}$ 时，
∴ $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用两直线相交的性质，使两式相等即可得出答案；
（2）首先表示出PQ的长度，进而得出当PH=HQ且∠PHQ=90°时以及当PH=PQ时△PQH为等腰直角三角形，分别求出即可；
（3）分别根据当 $\text{[math]}$ 时以及当 $\text{[math]}$ 时表示出△PQF与△AOB重叠部分的面积即可．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及等腰直角三角形的性质，根据数形结合进行分类讨论是解题关键，注意不要漏解．