Question

【题目】如图，直线y＝－x＋c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

①点M在线段OA上运动，若△BPN∽△APM，求点M的坐标；

②过点N作NQ⊥AB于Q，当N点坐标是多少时，NQ取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）B（0，2），；（2）①M（2.5，0）；②时，NQ有最大值

【解析】

（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，由△BPN∽△APM，得到N点的纵坐标为2，可得到关于m的方程，可求得m的值，即可得到点M的坐标；
②先证出△ABO∽△NPQ，从而得到，再打AO,AB求出，用含m的式子把PN表示出来，即可得出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得出NQ的最大值.

解：（1）∵与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，

∴可得c=2，　　　

∴B（0，2）

∵抛物线经过点A，B，

∴　　　解得

∴抛物线解析式为

（2）①由（1）可知直线解析式为

∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，

∴P，　　N

∵△BPN∽△APM，且∠BPN=∠APM，

∴∠BNP=∠AMP=90°　　BN⊥MN，

∴N点的纵坐标为2，

∴

解得m=0（舍去）或m＝2.5，

∴M（2.5，0）

②∵MN∥y轴，

∴∠NPQ＝∠OBA

又∵∠BOA＝∠NQP＝90°

∴△ABO∽△NPQ

∴

∴

由（1）及①知AO＝3，AB＝

PN=－（）=

∴

∴当时，NQ有最大值