Question

如图，点A（0，0），B（

3

，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一顶点在BC边上，作出等边三角形分别是第1个△AA₁B₁，第2个△B₁A₂B₂，…，则第4个等边三角形边长等于

 

．

Answer 1

分析：根据题意可判断后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的一半，从而可得出第四个等边三角形的边长．

解答：解：∵OB=

3

，OC=1，
∴∠OCB=60°，
又∵∠A₁AB=60°，
∴∠CAA₁=30°，
∴∠CA₁O=90°，
∴∠A₂A₁B₁=30°，
同理：∠CA₂B₁=∠CA₃B₂=∠CA₄B₃=90°，∠A₂A₁B₁=∠A₃A₂B₂=∠A₄A₃B₃=30°，
故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的一半，
∵OA₁=OCcos∠CAA₁=

3

2

，
∴第四个等边三角形的边长=

1

23

×

3

2

=

3

16

．
故答案为：

3

16

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解答本题的关键是仔细审图，得出后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的一半这一规律．