Question

如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 经过点A和点C，对称轴为直线l：，该抛物线与x轴的另一个交点为B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；

（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．

 

Answer 1

（1）证明：∵∠C=90°，∠BAP=90°

∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，

又∵∠CBO=∠ABP，

∴∠BOC=∠ABP，

∵∠BOC=∠AOP，

∴∠AOP=∠ABP，

∴AP=AO；

（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，

∵∠CBO=∠ABP，

∴CO=DO，

∵AE=OC，

∴AE=OD，

∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，

∴∠AOD=∠PAE，

在△AOD和△PAE中，

，

∴△AOD≌△PAE（SAS），

∴∠AEP=∠ADO=90°

∴PE⊥AO；

（3）解：设AE=OC=3k，

∵AE=AC，∴AC=8k，

∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，

∴OA=OE+AE=5k．

由（1）可知，AP=AO=5k．

如图，过点O作OD⊥AB于点D，

∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．

在Rt△AOD中，AD===4k．

∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．

∵OD∥AP，

∴，即

∵AB=10，PE=AD，

∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k，

由∠CBO=∠ABP，根据轴对称BC=BD=10﹣4k，

∵∠BOC=∠EOP，∠C=∠PEO=90°，

∴△BCO∽△PEO，

∴=，即 =，

解得k=1．

∴BD=10﹣4k=6，OD=3k=3，

在Rt△BDO中，由勾股定理得：

BO===3．