Question

如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，AF⊥AE交CB的延长线于点F，联结DF，分别交AE、AB于点G、P．
（1）求证：AE=AF；
（2）若∠BAF=∠BFD，求证：四边形APED是矩形．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定

专题：证明题

分析：（1）若要证明AE=AF，则可证明以上两条线段所在的三角形全等即可；
（2）利用正方形的性质以及垂直定义得出∠1=∠3=∠4=∠5，进而利用全等三角形的判定与性质得出AP=DE，进而利用平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠ABC=∠DAB=90°，AD=AB，AD∥BC，AB∥CD，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
在△ADE和△ABF中，

∠DAE=∠BAF AD=AB ∠ADE=∠ABF=90°

，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AF=AE；
（2）∵AF⊥AE，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵AD∥FC，
∴∠4=∠5，
∵∠1=∠5，
∴∠1=∠3=∠4=∠5，
在△ADE和△DAP中，

∠3=∠4 AD=AD ∠ADE=∠DAP

，
∴△ADE≌△DAP（ASA），
∴AP=DE，
又∵AP∥DE，
∴四边形APED是平行四边形，
∵∠PAD=90°，
∴平行四边形APED是矩形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定和矩形的判定以及正方形的性质等知识，根据已知得出∠1=∠3=∠4=∠5是解题关键．