Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点，直线与轴交于点与轴左侧抛物线交于点，直线与轴右侧抛物线交于点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值；

(3)点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，请直接写出以点为顶点的四边形是平行四边形时点的坐标.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)当时，；(3)点的坐标为或.

【解析】

（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）先求出点C的坐标，过点作轴交直线于点，设P，则，则得到线段PQ的长度，然后利用三角形面积公式，即可求出答案；

（3）先求出直线BD，然后得到点E的坐标，由以点为顶点的四边形是平行四边形，设点M为（m，），则可分为三种情况进行①当CN与ME为对角线时；②当CE与MN为对角线时；③当EN与CM为对角线时；由平行四边形对角线互相平分，即可得到m的值，然后求出点M的坐标.

解：（1）把代入中得，

解得，

抛物线的解析式为：.

（2）由

得，，

.

过点作轴交直线于点，

设，则，

，

.

当时，；

∴面积的最大值为64.

（3）∵直线与轴交于点，

∴点D的坐标为：（0，），

∵点B为（），

∴直线BD的方程为：；

联合抛物线与直线BD，得：

，

解得：或（为点B），

∴点E的坐标为：（3，）；

∵抛物线的对称轴为：，

∴点N的横坐标为；

∵以点为顶点的四边形是平行四边形，且点C（），点E（3，），

设点M为（m，），则可分为三种情况进行

①当CN与ME为对角线时，由平行四边形对角线互相平分，

∴，

解得：；

∴点M的纵坐标为：，

∴点M的坐标为：（）；

②当CE与MN为对角线时，由平行四边形对角线互相平分，

∴，

解得：，

∴点M的纵坐标为：，

∴点M的坐标为：（）；

③当EN与CM为对角线时，由平行四边形对角线互相平分，

∴，

解得：，

∴点M的纵坐标为：；

∴点M的坐标为：（）；

综合上述，点的坐标为：或.