Question

4．（1）如图①，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，FC∥AB，求证：AB-CF=BD；
（2）如图②，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，EB、AD的延长线交于点H，且AC=BH．求证：∠ABC=135°．

Answer 1

分析 （1）根据平行线性质求出∠A=∠FCE，根据AAS推出△ADE≌△CFE，利用全等三角形的性质可得AD=CF，等量代换即可；
（2）首先求出∠H=∠C，进而在△ADC和△BDH中利用AAS证明△ADC≌△BDH，即可得到AD=DB，于是得到△ADB是等腰直角三角形，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵FC∥AB，
∴∠A=∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠FEC}\\{∠A=∠FCE}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF，
∵AB-AD=BD，
∴AB-CF=BD；

（2）∵HE⊥AC，
∴在Rt△AEH中，∠H+∠HAE=90°，
∵AD⊥DC，
∴在Rt△ADC中，∠C+∠HAE=90°，
∴∠H=∠C，
在△ADC和△BDH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠H}\\{∠ADC=∠BDH=90°}\\{AC=BH}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴AD=DB，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABC=180°-45°=135°．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是掌握AAS证明两三角形全等，此题难度不大．