平面直角坐标系xOy中.抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A.B.与y轴的正半轴交于点C.点A的坐标为(1.0).OB=OC．(1)求此抛物线的解析式,(2)若点P是线段BC上的一个动点.过点P作y轴的平行线与抛物线在x轴下方交于点Q.试问线段PQ的长度是否存在最大值?若存在.求出其最大值,若不存在.请说明理由,(3)若此抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°.求点M� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+4a+c与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上的一个动点，过点P作y轴的平行线与抛物线在x轴下方交于点Q，试问线段PQ的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由；
（3）若此抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°，求点M的坐标．

分析：（1）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点B的坐标，然后求出点C的坐标，再把点A、C的坐标代入抛物线求出a、c即可得解；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出PQ的长，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）求出△ABC的外接圆的圆心D的坐标，再求出外接圆的半径，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠AMC=∠ABC=45°，再分点M在点D的下方和上方两种情况写出点M的坐标即可．

解答：解：（1）抛物线的对称轴为直线x=-

-4a

=2，
∵点A（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），
∵点C在y轴的正半轴，OB=OC，
∴点C的坐标为（0，3），
∴

a-4a+4a+c=0

4a+c=3

，
解得

a=1

c=-1

，
∴此抛物线的解析式y=x²-4x+3；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

3k+b=0

b=3

，
解得

k=-1

b=3

，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴PQ=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x-

）²+

，
∵点Q在x轴下方，

∴1＜x＜3，
又∵-1＜0，
∴当x=

时，PQ的长度有最大值

；

（3）如图，设△ABC的外接圆的圆心D，
则点D在对称性直线x=2上，也在直线BC的垂直平分线y=x上，
∴点D的坐标为（2，2），
∴外接圆的半径为

(3-2)2+22

，
∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∴∠AMC=45°时，点M为⊙D与对称轴的交点，
点M在点D的下方时，M₁（2，2-

），
点M在点D的上方时，M₂（2，2+

），
综上所述，M（2，2-

）或（2，2+

）时，抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，（1）根据函数解析式的特点确定出对称轴从而求出点B的坐标是解题的关键，（2）要注意点Q的横坐标的取值范围，（3）考虑利用同弧所对的圆周角相等，作出△ABC的外接圆并求出圆心和半径是解题的关键．