(2013•河东区一模)如图.在平面直角坐标系xOy中.矩形AOCD的顶点A的坐标是(0.4).现有两动点P.Q.点P从点O出发沿线段OC以每秒2个单位长度的速度.匀速向点C运动.点Q从点C出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P.Q同时出发.同时停止.设运动时间为t秒.当t=2秒时PQ=25．(Ⅰ)求点D的坐标.并直接写出t的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2013•河东区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P、Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=2

．
（Ⅰ）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；
（Ⅱ）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，t为何值时，PQ∥AF？

分析：（1）根据t=2求出OP、CQ，再利用勾股定理列式求出PC的长，再求出OC，然后写出点D的坐标即可，再根据时间=路程÷速度分别求出点P、Q停止时的时间，然后写出t的取值范围即可；
（2）表示出CQ、DQ，再根据矩形的对边平行可得AD∥x轴，再利用△ADQ和△ECQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出CE，根据翻折的性质可得AF=AQ，再根据等腰三角形三线合一的性质可得QF=2DQ，然后根据S_△AEF=S_△AQF+S_△EFQ列式计算即可得解；
（3）根据翻折的性质AF=AQ，根据等边对等角可得∠AQF=∠AFQ，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AFQ=∠PQC，从而得到∠AQF=∠PQC，然后利用两组角对应相等两三角形相似求出△ADQ和△PCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：解：（1）t=2时，OP=2×2=4，CQ=2×1=2，
∵矩形AOCD的∠OCD=90°，
∴PC=

PQ2-CQ2

)2-22

=4，
∴OC=OP+PC=4+4=8，
又∵A（0，4），
∴OA=4，
∴点D的坐标为（8，4），
点P运动到点C的时间为：8÷2=4秒，
点Q运动到点D的时间为：4÷1=4秒，
∵点P、Q同时出发，同时停止，
∴0＜t＜4；

（2）△AEF的面积S不变，为32．
理由如下：∵点Q的速度是每秒1个单位长度，
∴CQ=t，DQ=4-t，
∵AD∥x轴，
∴△ADQ∽△ECQ，
∴

，
即

4-t

，
解得CE=

4-t

，
∵AF是AE沿AD翻折得到，
∴AF=AQ，
∵AD⊥CD，
∴QF=2DQ=2（4-t），
∴S_△AEF=S_△AQF+S_△EFQ，
=

QF•AD+

QF•CE，
=

QF（AD+CE），
=

×2（4-t）×（8+

4-t

），
=32-8t+8t，
=32是定值，
∴△AEF的面积S不变，为32；

（3）由翻折的性质AF=AQ，
∴∠AQF=∠AFQ，
∵PQ∥AF，
∴∠AFQ=∠PQC，
∴∠AQF=∠PQC，
又∵∠ADQ=∠PCQ=90°，
∴△ADQ∽△PCQ，
∴

，
即