Question

【题目】如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可判定；②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定；③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．

∵在y=（x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，

∴点A（﹣2，0）、B（8，0），

∴抛物线的对称轴为x==3，故①正确；

∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，

∴⊙D的面积为25π，故②错误；

在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，当x=0时y=﹣4，

∴点C（0，﹣4），

当y=﹣4时，x2﹣x﹣4=﹣4，

解得：x1=0、x2=6，

所以点E（6，﹣4），

则CE=6，

∵AD=3﹣（﹣2）=5，

∴AD≠CE，

∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；

∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，

∴点M（3，﹣），

∴DM=，

如图，连接CD，过点M作MN⊥y轴于点N，则有N（0，﹣），MN=3，

∵C（0，-4），∴CN=，∴CM2=CN2+MN2=，

在Rt△ODC中，∠COD=90°，∴CD2=OC2+OD2=25，∴CM2+CD2=，

∵DM2=，

∴CM2+CD2=DM2，

∴∠DCM=90°，即DC⊥CM，

∵CD是半径，

∴直线CM与⊙D相切，故④正确，

故选B．