Question

12．在四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O分别与AD、AB、CD相切于E、F、G，连接OA、OD、OE．求证：∠AOE=$\frac{1}{2}$∠ADC．

Answer 1

分析 连接OG、OF．由DC∥AB可知∠CDA+∠DAB=180°，然后证明△DEO≌DOG，从而得到∠EDO=$\frac{1}{2}$∠ADC，同理：∠DAO=$\frac{1}{2}$∠DAF，于是可证明∠AOD=90°，然后利用切线的性质可证明∠OEA=90°，接下来再证明∠AOE=∠ADO，故此可得到∠AOE=$\frac{1}{2}$∠ADC．

解答 证明：如图连接OG、OF．

∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB=180°．
∵DE、DG是圆0的切线，
∴DE=DG．
在△DEO和DOG中$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{OE=OG}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△DEO≌DOG．
∴∠EDO=∠GDO．
∴∠EDO=$\frac{1}{2}$∠ADC．
同理：∠DAO=$\frac{1}{2}$∠DAF．
∴∠EAO+∠EDO=$\frac{1}{2}$（∠DAF+∠ADG）=90°．
∴∠AOD=90°．
∵AD是圆O的切线，
∴OE⊥AD．
∴∠OEA=90°．
∵∠EAO=∠DAO，∠OEA=∠AOD，
∴∠AOE=∠ADO．
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠ADC．

点评 本题主要考查的是切线的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质的应用，证得∠AOD=90°是解题的关键．