Question

4．如图，AD∥BC，EF、HG交于点P，HI平分∠GHF，PM平分∠EPH，HI交PM的反向延长线于Q，PN∥HI，则：①若∠EGP=∠GEP，则PM∥AD；②∠GEP=2∠MPN；③∠EPN=2∠Q，其中正确的是②．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义得到∠EPM=∠MPH，若∠EGP=∠GEP，不能得到证明平行线的条件，①错误；根据角平分线的定义得到∠MPH=$\frac{1}{2}$∠EPH，∠PHQ=$\frac{1}{2}∠$PHF，根据外角的性质得到∠MPH=∠PHQ+∠Q，∠EPH=∠PHF+∠PFH，等量代换得到∠PFH=2∠Q，根据平行线的性质得到∠GEP=∠PFH，∠MPN=∠Q，等量代换得到∠GEP=2∠MPN，②正确；由于∠EPN=∠EPM+∠MPN=∠EPM+∠Q，而∠EPM=∠MPH≠∠MPN≠∠Q，于是得到∠EPN≠2∠Q，③错误．

解答 解：∵PM平分∠EPH，
∴∠EPM=∠MPH，
若∠EGP=∠GEP，
不能证得∠EGP=∠MPH，或∠GEP=∠EPM，
∴①错误；
∵PM平分∠EPH，
∴∠MPH=$\frac{1}{2}$∠EPH，
∵HI平分∠GHF，
∴∠PHQ=$\frac{1}{2}∠$PHF，
∵∠MPH=∠PHQ+∠Q，∠EPH=∠PHF+∠PFH，
∴$\frac{1}{2}$∠EPH=$\frac{1}{2}∠$PHF+∠Q=$\frac{1}{2}$（∠PHF+∠PFH），
∴∠PFH=2∠Q，
∵AD∥BC，
∴∠GEP=∠PFH，
∵PN∥HQ，
∴∠MPN=∠Q，
∴∠GEP=2∠MPN，②正确；
∵∠EPN=∠EPM+∠MPN=∠EPM+∠Q，
∵∠EPM=∠MPH≠∠MPN≠∠Q，
∴∠EPN≠2∠Q，③错误；
故答案为：②．

点评 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，根据平行线的性质证得∠MPN=∠Q是解题的关键．