Question

 如图，在直角梯形纸片ABCD中，∥，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为．连接EF并展开纸片．

（1）求证：四边形ADEF是正方形；

（2）取线段AF的中点G，连接，如果，试说明四边形GBCE是等腰梯形．

Answer 1

解：（1）证明：∵△ADF≌△EDF   ∴∠DEF=∠A=90°

                 ∵AB∥DC         ∴∠ADE=90°

∴四边形ADEF为矩形………2分

又∵DA=DE     ∴ADEF为正方形……4分

（2）过C作CH⊥AB，垂足为H

∵CE∥BG，CE≠BG    ∴EGBC是梯形

∵CH⊥AB      ∴∠CHA=90°

又∵∠CDA=∠DAH=90°   ∴ CDAH为矩形

∴CD=AH    又∵BG=CD   ∴BG=AH

∴BH=AG    又∵AG=GF   ∴GF=HB…………6分

又∵∠EFG=∠CHB，EF=CH  ∴ △EFG≌△CHB

∴EG=CB     ∴GBCE为等腰梯形……………8分