题目内容
20．
如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD≌△CQP．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等．
①当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
②若点Q以①中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次相遇，并求出相遇的具体位置．
分析 （1）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
（2）①根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；②根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．
解答 解：（1）1s，
理由如下：
∵t=1秒，
∴BP=CQ=1×1=1厘米，
∵AB=6cm，点D为AB的中点，
∴BD=3cm．
又∵PC=BC-BP，BC=4cm，
∴PC=4-1=3cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CPQ；
（2）①设点Q的运动速度为xcm/s，经过ts后△BPD≌△CPQ，
则BP=CP，BD=CQ．
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=4-t}\\{3=xt}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{t=2}\\{x=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即点Q的运动速度为$\frac{3}{2}$cm/s时，△BPD≌△CPQ；
②设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 1.5x=x+2×6，
解得x=24，
∴点P共运动了24s×1cm/s=24cm．
∵24=2×12，
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
∴点P、Q在AC边上相遇，相遇地点距离C点4cm处．
点评 此题主要考查了路程=速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系是解题的关键．
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