题目内容
如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．在进一步学习时，小明和小亮产生了很大的意见分歧：
小明说：如果一个是平行四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD一定是菱形；
小亮说：如果一个平行四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD一定是对角线互相垂直的四边形，而不一定是菱形．
（1）你认为谁的观点是错误的．
（2）如果四边形ABCD对角线相等，平行四边形EFGH形状为______
（3）如果四边形EFGH为正方形，则四边形ABCD必须满足条件______，并且在下面的网格中画出符合条件（3）的图形并说明理由．
解：（1）小明的观点是错误的．
根据已知只能证明四边形ABCD的对角线互相垂直，四边形ABCD不一定是平行四边形，所以四边形ABCD不一定是菱形，故小明的观点是错误的．
（2）由四边形ABCD对角线相等和平行四边形的性质可证明平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH形状为菱形．
（3）四边形ABCD必须满足条件为对角线互相垂直且相等．
符合条件的图如下：
如网格中图ABCD中，AC⊥BD且AC=BD
∵EF∥AC∥HG，HE∥DB∥GF，AC⊥BD
∴ACGH、DBFG、EFGH为平行四边形，
∠HAC=90°，∠AHG=90°
∴HG=AC，GF=BD，EFGH为矩形
∵AC=BD
∴HG=GF
∴EFGH为菱形
∴EFGH为正方形．
分析：（1）根据菱形和矩形的判定方法，可以直接判定小明和小亮的观点谁正确．
（2）根据菱形的判定方法可知，如果四边形ABCD对角线相等，那么平行四边形EFGH是菱形．
（3）根据正方形的性质，可知四边形ABCD必须满足条件为对角线互相垂直且相等，先判定ACGH、DBFG、EFGH为平行四边形，再证明EFGH为矩形且为菱形，即四边形EFGH为正方形．
点评：本题主要考查了菱形、矩形和正方形的判定，注意灵活运用平行四边形的判定和性质是解题的关键．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；
②四边相等；③对角线互相垂直平分．
根据已知只能证明四边形ABCD的对角线互相垂直，四边形ABCD不一定是平行四边形，所以四边形ABCD不一定是菱形，故小明的观点是错误的．
（2）由四边形ABCD对角线相等和平行四边形的性质可证明平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH形状为菱形．
（3）四边形ABCD必须满足条件为对角线互相垂直且相等．
符合条件的图如下：
如网格中图ABCD中，AC⊥BD且AC=BD
∵EF∥AC∥HG，HE∥DB∥GF，AC⊥BD
∴ACGH、DBFG、EFGH为平行四边形，
∠HAC=90°，∠AHG=90°
∴HG=AC，GF=BD，EFGH为矩形
∵AC=BD
∴HG=GF
∴EFGH为菱形
∴EFGH为正方形．
分析：（1）根据菱形和矩形的判定方法，可以直接判定小明和小亮的观点谁正确．
（2）根据菱形的判定方法可知，如果四边形ABCD对角线相等，那么平行四边形EFGH是菱形．
（3）根据正方形的性质，可知四边形ABCD必须满足条件为对角线互相垂直且相等，先判定ACGH、DBFG、EFGH为平行四边形，再证明EFGH为矩形且为菱形，即四边形EFGH为正方形．
点评：本题主要考查了菱形、矩形和正方形的判定，注意灵活运用平行四边形的判定和性质是解题的关键．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；
②四边相等；③对角线互相垂直平分．
练习册系列答案
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