题目内容

使得 $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ =1的一组正整数（a，b，c）为：________．

答案不唯一；如（288，8，8），（48，24，8）
分析：由于三个复合二次根式的和为1，则它们的被开方数为完全平方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（ $\text{[math]}$ ）²（x，y为正整数，x＞y），然后通过正整数的含义，得到x，y为两个相邻正整数，即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后是 $\text{[math]}$ -1，则第二个复合二次根式化简后必为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，第三个复合二次根式化简后必为 $\text{[math]}$ ，最后求的a，b，c的值．
解答：因为几个复合二次根式的和为1，则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数．设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =x+y-2 $\text{[math]}$ ，（x，y为正整数，x＞y），所以有 $\text{[math]}$ =x+y，- $\text{[math]}$ =-2 $\text{[math]}$ ．
∴a+1=（x+y）²，a=4xy，
∴（x-y）²=1，即x-y=1．
则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．
若第一个化简后为 $\text{[math]}$ -1，而 $\text{[math]}$ 要消掉，则第二个复合二次根式化简后必为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 要消掉，则第三个复合二次根式化简后必为 $\text{[math]}$ ．最后正好为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1．
所以 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ -1）²=3- $\text{[math]}$ =3- $\text{[math]}$ ，则a=8，
同理得b=24，c=48．
故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48．
故答案为8，24，48．
点评：本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简： $\text{[math]}$ ．