Question

18．“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，广东的夏季盛产荔枝，桂味、糯米糍是荔枝的品种之一．佳佳同学先用52元购买2千克桂味和1千克糯米糍；几天后，他用76元购买1千克桂味和3千克糯米糍．（前后两次两种荔枝的售价不变）
（1）求桂味、糯米糍的售价分别是每千克多少元？
（2）若佳佳同学用y元买了这两种荔枝共中10千克，设买了x千克桂味．
①写出y与x的函数关系式．
②若要求糯米糍的重量不少于桂味重量的3倍，请帮佳佳同学设计一个购买方案，使所需的费用最少，并求出最少费用．

Answer 1

分析 （1）设桂味的售价是每千克m元，糯米糍的售价是每千克n元，根据“用52元购买2千克桂味和1千克糯米糍，用76元购买1千克桂味和3千克糯米糍”，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设买了x千克桂味，则买了（10-x）千克糯米糍，根据总价=单价×购买数量，即可得出y与x的函数关系式；
②由糯米糍的重量不少于桂味重量的3倍可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）设桂味的售价是每千克m元，糯米糍的售价是每千克n元，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=52}\\{m+3n=76}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=16}\\{n=20}\end{array}\right.$．
答：桂味的售价是每千克16元，糯米糍的售价是每千克20元．
（2）①设买了x千克桂味，则买了（10-x）千克糯米糍，
根据题意得：y=16x+20（10-x）=-4x+200（0＜x＜10）．
②∵糯米糍的重量不少于桂味重量的3倍，
∴10-x≥3x，
∴x≤$\frac{5}{2}$．
∵y=-4x+200中，k=-4＜0，
∴y值随x值的增大而减小，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，y取最小值，最小值为190．
答：当购买桂味$\frac{5}{2}$千克、糯米糍$\frac{15}{2}$千克时，所需的费用最少，最少费用为190元．

点评 本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据总价=单价×购买数量，列出y与x的函数关系式；②根据一次函数的性质解决最值问题．