Question

如图，点P是双曲线（k₁<0，x<0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线（0＜k₂＜|k₁|）于 E、F两点。
（1）图（1）中，四边形PEOF的面积S₁=_______（用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）图（2）中，设P点坐标为（-4，3）。
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S₂=S_△PEF-S_△OEF，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。

Answer 1

解：（1）k2-k1；
（2）① EF∥AB， 证明：如图，由题意可得A（-4，0），B（0，3），， ∴PA=3，，PB=4， ∴， ∴ 又∵∠APB=∠EPF， ∴△APB∽△EPF， ∴∠PAB=∠PEF， ∴EF∥AB； ②S2没有最小值，理由如下： 如图，过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，EM、FN交于点O， 由上知，， 而S△EFQ=S△PEF S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF =S△EOM+S△FON+S 矩形OMQN = ， 当k2>-6时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12， ∴0＜S2＜24，S2没有最小值。