Question

（2013•南通二模）如图，点A是双曲线y=

4

x

在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为

y=-

4

x

．

Answer 1

分析：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，设A点坐标为（a，

4

a

），利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，则OA=OB，再根据等腰直角三角形的性质得OC=OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO=∠AOE，则根据“AAS”可判断△COD≌△OAE，所以OD=AE=

4

a

，CD=OE=a，于是C点坐标为（-

4

a

，a），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C点所在的函数图象解析式．

解答：解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，
设A点坐标为（a，

4

a

），
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=

4

x

的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∵在△COD和△OAE中

∠CDO=∠OEA ∠DCO=∠EOA CO=OA

∴△COD≌△OAE（AAS），
∴OD=AE=

4

a

，CD=OE=a，
∴C点坐标为（-

4

a

，a），
∵-

4

a

•a=-4，
∴点C在反比例函数y=-

4

x

图象上．
故答案为y=-

4

x

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质；熟练运用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题．