Question

9．如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=5，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，则CQ的长为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 6.5
• D． 7

Answer 1

分析 由A′P=3可知点A′在以P为圆心以PA′为半径的弧上，故此当C，P，A′在一条直线上时，CA′有最小值，过点C作CH⊥AB，垂足为H，先求得BH、HC的长，则可得到PH的长，然后再求得PC的长，最后依据折叠的性质和平行线的性质可证明△CQP为等腰三角形，则可得到QC的长．

解答 解：如图所示：过点C作CH⊥AB，垂足为H．

在Rt△BCH中，∠B=60°，BC=8，则BH=$\frac{1}{2}$BC=4，CH=sin60°•BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×8=4$\sqrt{3}$．
∴PH=1．
在Rt△CPH中，依据勾股定理可知：PC=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=7．
由翻折的性质可知：∠APQ=∠A′PQ．
∵DC∥AB，
∴∠CQP=∠APQ．
∴∠CQP=∠CPQ．
∴QC=CP=7．
故选：D．

点评 本题主要考查的是菱形的性质、勾股定理的应用，翻折的性质、等腰三角形的判定，判断出CA′取得最小值的条件是解题的关键．