Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G、H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x为何值时，y取得最大值？并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）延长FE，交AC于D，显然DF∥BC，则Rt△ADF∽Rt△ACB，利用AE=AC=x，求得DE，于是可得方程，然后解方程即可，
（2）由第（1）题得方程，解当

x

=

2

x

时，即可求出y的最大值．

解答：解：（1）如图，延长FE，交AC于D，
∵DF∥BC，
∴Rt△ADF∽Rt△ACB，
∴AE=AC=X，知：DE=

x2-(x-y)2

=

2xy-y2

，
∴

x-y

x

=

2xy-y2 +y

2

?2x-2y-xy=x

2xy-y2

，
两边平方，并整理得（x²+2x+2）y²-（x³+2x²+4x）y+2x²=0，
解得：y=

2x

x 2   +2x+2

（另一解y=x舍去）．
答：y关于x的函数解析式为y=

2x

x 2   +2x+2

．

（2）由第（1）题得y=

2

x     + 2 x +2

=

2

( x - 2 x ) 2   +2 2 +2

，
当

x

=

2

x

，即x=

2

时，y有最大值=

2

2 2 +2

=

2

-1，
答：当x=

2

时，y最大值为

2

-1．

点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正方形的性质等多个知识点，有一定的拔高难度．