题目内容

某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过在本地市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天） 1 3 6 10 36 …
日销售量m（件） 94 90 84 76 24 …
未来40天内，前20天每天的价格y₁（元/件）与时间t（天）的函数关系式为 $数学公式$ （1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系式为 $数学公式$ （21≤t≤40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请预测本地市场在未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在第30天，该公司在外地市场的销量比本地市场的销量增加a%还多30件，由于运输等原因，该商品每件成本比本地增加0.2a%少5元，在销售价格相同的情况下当日两地利润持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．
（参考数据： $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ）

解：（1）∵根据表格知道日销售量与时间t是均匀减少的，
∴确定m与t是一次函数关系，设函数关系式为：m=kt+b，
∵当t=1，m=94；当t=3，m=90，
∴ $\text{[math]}$ ，
解之得： $\text{[math]}$ ，
∴m=-2t+96；

（2）前20天：
∵每天的价格y（元）与时间t天的函数关系式为y= $\text{[math]}$ t+25，
而商品每件成本为20元，
∴每件获取的利润为（ $\text{[math]}$ t+25-20）=（ $\text{[math]}$ t+5）元，
又日销售量y（件）与时间t（天）的函数关系式为：y=-2t+96，
故：前20天每天获取的利润：
P=（ $\text{[math]}$ t+5）（-2t+96）
=- $\text{[math]}$ t²+14t+480
∴P=- $\text{[math]}$ （t-14）²+578 （1≤t≤20）
根据二次函数的相关性质可知：t=14时，日获利润最大，且为578元；

后20天：
每天的价格y（元）与时间t天的函数关系式为y=- $\text{[math]}$ t+40，
而商品每件成本为20元，
故每件获取的利润为（- $\text{[math]}$ t+40-20）=（- $\text{[math]}$ t+20）元，
又日销售量y（件）与时间t（天）的函数关系式为：y=-2t+96，
故：后20天每天获取的利润
P=（- $\text{[math]}$ t+20）（-2t+96）
=t²-88t+1920，
∴P=（t-44）²-16 （21≤t≤40），
根据二次函数的相关性质可知：
当t=21时，日获利润最大，且为513元
综合以上：t=14时，日获利润最大，且为578元；

（3）在第30天，本地的销售量为m=-2×30+96=36，销售价格为：y=- $\text{[math]}$ ×30+40=25，
依题意得公司在外地市场的销量为：36×（1+a%）+30，
依题意得：36×（25-20）=[36×（1+a%）+30][25-20（1+0.2a%）+5]，
整理得：3（a%）²-2a%-10=0，
解得：a%= $\text{[math]}$ ，则a%₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≈219%，a%₂= $\text{[math]}$ ＜0（不合题意舍去），
故a≈219．
分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）分前20天和后20天分别讨论：根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；
（3）由于在第30天，利用（1）中结论和已知条件可以求出本地的利润，也可以根据该公司在外地市场的销量比本地市场的销量增加a%还多30件，由于运输等原因，该商品每件成本比本地增加0.2a%少5元，可以用a列出外地销售利润，然后根据在销售价格相同的情况下当日两地利润持平可以列出关于a的方程，解方程即可求解．
点评：此题分别考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键首先读懂题目，正确把握题目的数量关系，根据数量关系分别列出函数关系式和一元二次方程解决问题．