Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝16； ④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（　　）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①②

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根据四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，AD=BC，由点E是OA的中点，可得CE=3AE，再根据相似三角形对应边成比例即可判断；

②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断；

③根据等高的两个三角形面积的比等于底与底的比即可求出三角形ABE的面积；

④假设△AEF∽△ACD，可得EF∥CD，即BF∥CD，由已知AB∥CD，可得BF和AB共线，由点E是OA的中点，即BE与AB不共线，得假设不成立，即△AEF和△ACD不相似，即可判断．

解：①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，AD∥BC，AD=BC，

∵点E是OA的中点，

∴CE=3AE，

∵AF∥BC，

∴△AEF∽△CEB，

∴，

∴BC=3AF，

∴FD=2AF，

所以结论①正确；

②∵△AEF∽△CEB，

CE=3AE，

∴，

∴S△BCE=9S△FAE=36，

所以结论②正确；

③∵△ABE和△CBE等高，且BE=3AE，

∴S△BCE=3S△ABE，

∴S△ABE=12，

所以结论③错误；

④假设△AEF∽△ACD，

∴EF∥CD，即BF∥CD，

∵AB∥CD，

∴BF和AB共线，

∵点E是OA的中点，即BE与AB不共线，

∴假设不成立，即△AEF和△ACD不相似，

所以结论④错误．

综上所述：正确的结论有①②．

故选：D．