Question

【题目】如图，一次函数的图像与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为，二次函数的图像经过A、B、C三点．

（1）求二次函数的解析式

（2）如图1，已知点在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q作轴于点M，作于点N，过Q作轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）求出A、B的坐标，设二次函数解析式为，把A（0，2）代入即可得出结论；

（2）先求出D的坐标和直线BD的解析式，过D作DT⊥x轴于T，可求得∠DBO=45°．设Q（m，m+2），则G（m，-m+4），MQ=m．设∠ABO=α，则∠NBQ=45°－α，∠MQB=180°－α．证明ΔGQN为等腰直角三角形，表示出NQ，MQNQ，利用二次函数的性质解答即可；

（3）如图，过A作AH⊥PE于点H，解Rt△APH，得到AH=1，PH=2．设H（m，n），利用两点间距离公式可求出H的坐标，进而求出点E的坐标．

（1）在中，令x=0，得y=2，∴A（0，2）；

令y=0，得，解得：x=4，∴B（4，0）．

设二次函数解析式为，

将A（0，2）代入得：

解得：，

∴．

（2）∵点D（1，n）在抛物线上，∴n==3，

∴D（1，3）．

设直线BD的解析式为y=kx+b，则，

解得：，

∴直线BD的解析式为：y=-x+4．

过D作DT⊥x轴于T，则OT=1，DT=3．

∵OB=4，∴BT=OB-OT=4-1=3，

∴DT=BT，

∴∠DBO=45°．

设Q（m，m+2），则G（m，-m+4），MQ=m．

设∠ABO=α，则∠NBQ=45°－α

∠MQB=180°－α．

又∵∠PQM=90°，∠NQB=90°－（45°－α）=45°+α，

∴∠GQN=360°－90°－（180°－α）－（45°+α）=45°，

∴ΔGQN为等腰直角三角形，

∴NQ=，

∴MQNQ=．

当m=2时，QMQN最大，此时P（2，3）．

（3）如图，过A作AH⊥PE于点H，其中，∠APE=∠ABO．

又A（0，2），P（2，3），

，

∴，

∴PH=2AH．

∵AP=，，

∴，

∴AH=1，PH=2．

设H（m，n），

则，

，

解得：；，

∴，．

①易求直线PH的解析式为：

令

解得：（舍）

∴；

②易求直线PH1的解析式为：．

令，

解得：，

∴．

综上所述：符合题意的E点坐标为或．