Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=

1

4

x2-6与直线y=kx相交于A（-4，-2），B（6，b）两点．
（1）求k和b的值；
（2）当点C线段AB上运动时，作CD∥y轴交抛物线于点D，
①求CD 最大值；
②如果以CD为直径的圆与y轴相切，求点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A（-4，-2），代入直线y=kx即可得出k的值，把B（6，b）代入y=

1

2

x，得b=3；
（2）①利用配方法得出二次函数最值求法；
②根据当点C在线段OB上时，-

1

4

x2+

1

2

x+6=2x，求出x的值，以及当点C在线段OA上时，-

1

4

x2+

1

2

x+6=-2x，求出x的值，即可得出C点的坐标．

解答：解：（1）把A（-4，-2）代入y=kx，
得：-2=-4k，
得k=

1

2

，
把B（6，b）代入y=

1

2

x，得b=3；

（2）①设C（x，y）则

CD=yC- y   D = 1 2 x-( 1 4 x2-6)=- 1 4 (x-1)2+ 25 4

，
∴当x=1时，CD的最大值是

25

4

；

②当点C在线段OB上时，-

1

4

x2+

1

2

x+6=2x，
解得x₁=-3+

33

，x₁=-3-

33

（不合题意，舍去），
∴点C的坐标（-3+

33

，

-3+ 33

2

），
当点C在线段OA上时，-

1

4

x2+

1

2

x+6=-2x，
解得x₁=-2，x₂=12（不合题意，舍去），
∴点C的坐标（-2，-1）（12分）
综上，点C的坐标是（-3+

33

，

-3+ 33

2

）或（-2，-1）．

点评：此题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．