Question

如图，A（1，0），B（3，0），C（0，3），D（2，-1），P（2，2）．
（1）问：△ABC与△ADP相似吗？说明理由；
（2）在图中标出点D关于y轴的对称点D′，连接AD′、CD′，判断△ACD′的形状，并说明理由；
（3）直接写出∠OCA+∠OCD的度数．

Answer 1

分析：（1）根据坐标可求得AB、BC、AC、AD、PD、AP的长，从而求得对应边成比例且比例相等，所以△ABC∽△ADP．
（2）根据已知画出图形，求出AC、AD、CD的长且AC=AD，三边符合勾股定理，所以△ACD′的是等腰直角三角形；
（3）因为∠ACD′=∠OCA+∠OCD，而△ACD′是等腰直角三角形，所以∠OCA+∠OCD=45°．

解答：解：（1）相似．理由如下：
由已知得：AB=2，BC=3

2

，AC=

10

，AD=

2

，PD=3，AP=

5

；
所以：

AB

AD

=

2

，

BC

PD

=

2

，

CA

PA

=

2

；即：

AB

AD

=

BC

PD

=

CA

PA

；
所以△ABC∽△ADP．

（2）如图示，
△ACD′的是等腰直角三角形；
因为AC=AD=

10

，CD=2

5

，CD²=AC²+AD²，
所以△ACD′是等腰直角三角形．

（3）因为△ACD′的是等腰直角三角形，所以∠ACD=∠OCA+∠OCD=45°．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定及关于x轴、y轴、原点对称点的坐标等知识点的理解及运用．