Question

4．已知△ABC三个顶点A（1，m），B（4，n），C（4，4），直线l过A、B两点，其解析式为y=-x+b．
（1）若双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）过点A、B两点，则关于x的方程x²-bx+k=0的解为x₁=1，x₂=4；
（2）当b=5，若双曲线y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）与△ABC有公共点，求k₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据直线与双曲线的交点的横坐标为x²-bx+k=0的解，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得直线的解析式，根据自变量与函数值的相应的关系，可得A、B点坐标，根据双曲线过A、B点时k取最小值，双曲线过C点时，k取最大值，可得答案．

解答 解：（1）由直线l过A、B两点，若双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）过点A、B两点，关于x的方程x²-bx+k=0的解为x₁=1，x₂=4，
故答案为：x₁=1，x₂=4；
（2）当b=5时，直线l为y=-x+5，
当x=1时，y=4；当x=4时，y=1，
即A（1，4），B（4，1）．
∵双曲线y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）与△ABC有公共点，
∴当过A（1，4）时k₁=4，
当过B（4，1）时，k₁=4，
当过C（4，4）时，k₁=16，
∴k₁的取值范围4≤k₁≤16．

点评 本题考查了反比例函数综合题，（1）利用了函数与方程的关系：函数图象交点的横坐标是相应方程的解，（2）利用待定系数法求函数解析式，双曲线过A、B点时k取最小值，双曲线过C点时，k取最大值．