题目内容
如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为y=-| 3 | 4 |
（1）AO=
6
6
；AD=10
10
；OC=3
3
；（2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）先根据A、D是直线y=-
x+6上的点求出A、D两点的坐标，再根据勾股定理求出AD的长，由图形反折变换的性质得出AE=AO=6，CE⊥AD，根据相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CED，由相似三角形的对应边成比例即可求出CD的长，进而得出OC的长；
（2）此题应注意运用全等三角形来求解；由已知条件∠PAQ=∠BAC，可推出∠BAP=∠CAQ（两个等角减去或加上一个同角），从而证得△BAP≌△CAQ，得BP=CQ，以OP为底、CE•sin∠ECD为高即可求得△POQ的面积表达式，由此求得S、t的函数关系式；需要注意的是，在表示OP长时，要分两种情况：
①点P在线段OB上，②点P在x轴正半轴上．
（3）此题按两种情况考虑即可：①以AD为边，②以AD为对角线；可运用平行四边形的性质结合直线CE的解析式来求解．
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（2）此题应注意运用全等三角形来求解；由已知条件∠PAQ=∠BAC，可推出∠BAP=∠CAQ（两个等角减去或加上一个同角），从而证得△BAP≌△CAQ，得BP=CQ，以OP为底、CE•sin∠ECD为高即可求得△POQ的面积表达式，由此求得S、t的函数关系式；需要注意的是，在表示OP长时，要分两种情况：
①点P在线段OB上，②点P在x轴正半轴上．
（3）此题按两种情况考虑即可：①以AD为边，②以AD为对角线；可运用平行四边形的性质结合直线CE的解析式来求解．
解答：解：（1）∵A、D是直线y=-
x+6上的点，
∴A（0，6），D（8，0），
∴AO=6，OD=8；
∵△AOD是直角三角形，
∴AD=
=
=10，
∵△ACE由△ACO反折而成，
∴AE=AO=6，CE⊥AD，
∴DE=QD-AE=10-6=4，
∵∠ADO=∠ADO，∠AOD=∠CED，
∴△AOD∽△CED，
∴
=
，
=
，解得CD=5，
∴OC=OD-CD=8-5=3．
（2）当P在线段BO上时，即0＜t＜3时；
∵∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；
又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO，且AB=AC，
∴△ABP≌△ACQ，得BP=CQ=t，OP=3-t；
∴△POQ的面积为：S=
OP•CQ•sin∠ECD=
（3-t）×
t，即S=-
t2+
t；
当P在x轴正半轴上时，即t＞3时；
同①可得：BP=CQ=t，OP=t-3；
∴S=
OP•CQ•sin∠ECD=
（t-3）×
t，
即S=
t2-
t；
综上可知：S=
；
（3）分两种情况：
①0＜t＜3时，显然不存在以AD为边的情况，那么只考虑以AD为对角线的情况；
此时P（t-3，0），取易知AD的中点为：（4，3）；
∵平行四边形中，以AD、PQ为对角线，
∴AD的中点也是PQ的中点；
∴Q（11-t，6）；
∵直线CE：y=
x-4，代入Q点坐标得：
（11-t）-4=6，解得t=
；即BP=CQ=
，
∴Q（
×
+3，
×
），即Q（
，
）；
②t＞3时，显然不存在以AD为对角线的情况，那么只考虑以AD为边的情况；
此时PF∥DP，即F点纵坐标为6，由①得，此时F（
，6）；
即DP=AF=
，BP=BD+DP=11+
=
，即t=
；
此时CQ=BP=
，同①可求得：Q（
，
）．
综上可知：存在符合条件的F点，此时的t值和Q点坐标分别为：t=
，Q（
，
）或t=
，Q（
，
）．
故答案为：10，6，3．
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∴A（0，6），D（8，0），
∴AO=6，OD=8；
∵△AOD是直角三角形，
∴AD=
| AO2+OD2 |
| 62+82 |
∵△ACE由△ACO反折而成，
∴AE=AO=6，CE⊥AD，
∴DE=QD-AE=10-6=4，
∵∠ADO=∠ADO，∠AOD=∠CED，
∴△AOD∽△CED，
∴
| AD |
| CD |
| OD |
| ED |
| 10 |
| CD |
| 8 |
| 4 |
∴OC=OD-CD=8-5=3．
（2）当P在线段BO上时，即0＜t＜3时；
∵∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；
又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO，且AB=AC，
∴△ABP≌△ACQ，得BP=CQ=t，OP=3-t；
∴△POQ的面积为：S=
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当P在x轴正半轴上时，即t＞3时；
同①可得：BP=CQ=t，OP=t-3；
∴S=
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即S=
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| 5 |
| 6 |
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综上可知：S=
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（3）分两种情况：
①0＜t＜3时，显然不存在以AD为边的情况，那么只考虑以AD为对角线的情况；
此时P（t-3，0），取易知AD的中点为：（4，3）；
∵平行四边形中，以AD、PQ为对角线，
∴AD的中点也是PQ的中点；
∴Q（11-t，6）；
∵直线CE：y=
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∴Q（
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②t＞3时，显然不存在以AD为对角线的情况，那么只考虑以AD为边的情况；
此时PF∥DP，即F点纵坐标为6，由①得，此时F（
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即DP=AF=
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此时CQ=BP=
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综上可知：存在符合条件的F点，此时的t值和Q点坐标分别为：t=
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| 2 |
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| 10 |
| 74 |
| 5 |
故答案为：10，6，3．
点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到图形的翻折变换、一次函数解析式的确定、相似三角形及全等三角形的判定和性质、以及平行四边形的判定等知识，同时考查了分类讨论数学思想的引用，难度较大．
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