Question

已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．

1.当=1时，CF=_____cm；

2.当 =2时，求sin∠DAB′的值；

3.当 =x时（点C与点E不重合），求△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式．

 

Answer 1

 

1.CF=6cm

2.sin∠DAB′=  或sin∠DAB′= ．

3.y= 或 y= ．

解析:本题考查为四边形和三角形的相似。

解：（1）CF=6cm．………2’

（2）①如图1．当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M．

∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴ ．

∵ =2，∴CF=3；∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F；又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F，∴MA=MF．

令MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．

在Rt△ADM中，由勾股定理得：k²=（9-k）²+6²，

 

解得k=MA= ，∴DM= ．……3’∴sin∠DAB′= ．……4’

②如图2．当点E在BC延长线上时，延长AD交B′E于点N，同①可得NA=NE．

设NA=NE=m，则B′N=12-m，在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m²=（12-m）²+6²，

解得m=AN= ，  ∴B′N= ，在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m²=（12-m）²+6²，

解得m=AN= ，∴B′N= ，……5’∴sin∠DAB′= ．………6’

（3）当 =x时，正方形ABCD的边长为6cm，△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y．当点E在BC上时．∵ =x，∴= ，BE= ，∴y= ×AB×BE，即y= ．…8’

②当点E在BC延长线上时，△ADF的面积为所求．

∵ =x，∴ = ，又∵AD=6，∴FC= ，DF=6- ；∴ ，

∴y= ．