题目内容

(1)t为何值时,梯形DPFE的面积最大?最大面积是多少?
(2)当梯形DPFE的面积等于△APF的面积时,求线段PF的长.
(3)△DPF能否为一个等腰三角形?若能,试求出所有的t的值;若不能,请说明理由.
分析:(1)求出AO=OF=t,DP=AD-AP=28-3t,DE=AO=OF=t,EF=OE-OF=28-t,根据面积公式求出即可;
(2)根据面积相等得出关于t的方程,求出方程的解即可;
(3)分为三种情况:①DP=PF,②DF=DF,③PF=DF,根据勾股定理即可得出关于t的方程,求出即可.
(2)根据面积相等得出关于t的方程,求出方程的解即可;
(3)分为三种情况:①DP=PF,②DF=DF,③PF=DF,根据勾股定理即可得出关于t的方程,求出即可.
解答:解:(1)
∵在正方形ABCD中,∠BAC=45°,∠BAD=90°,
∴∠OAF=45°=∠OFA,
∴AO=OF=t,
∵DP=AD-AP=28-3t,DE=AO=OF=t,EF=OE-OF=28-t,
∴S梯形DPFE=
(DP+EF)×ED,
即S=
(28-3t+28-t)t
S=-2t2+28t=-2(t-7)2+98,
∵-2<0,
∴S有最大值,当t=7时,S的最大值是98;
(2)∵梯形DPFE的面积等于△APF的面积,
∴-2t2+28t=
•3t•t,
解得:t=0(此时不存在梯形DPFE,舍去),t=8,

过F作FN⊥AD于N,
则OF=AN=t=8,NP=3t-t=2t=16,
由勾股定理得:PF=
=
t=8
;
(3)分为三种情况:①当PF=DP时,
则28-3t=
t,
t=21-7
;
②当DF=PD时,
=

t=0(舍去),t=16>
舍去;
③当PF=CF时,由勾股定理得:[28-
(28-3t)]2+t2=t2+[
(28-3t)]2,
即14+
t=14-
t,解得:t=0(舍去);
14+
t)=-(14-
t),此方程无解;
综合上述:当t=21-7
时,
即△DPF能为一个等腰三角形,此时t的值是21-7
.

∵在正方形ABCD中,∠BAC=45°,∠BAD=90°,
∴∠OAF=45°=∠OFA,
∴AO=OF=t,
∵DP=AD-AP=28-3t,DE=AO=OF=t,EF=OE-OF=28-t,
∴S梯形DPFE=
1 |
2 |
即S=
1 |
2 |
S=-2t2+28t=-2(t-7)2+98,
∵-2<0,
∴S有最大值,当t=7时,S的最大值是98;
(2)∵梯形DPFE的面积等于△APF的面积,
∴-2t2+28t=
1 |
2 |
解得:t=0(此时不存在梯形DPFE,舍去),t=8,

过F作FN⊥AD于N,
则OF=AN=t=8,NP=3t-t=2t=16,
由勾股定理得:PF=
t2+(2t)2 |
5 |
5 |
(3)分为三种情况:①当PF=DP时,

则28-3t=
5 |
t=21-7
5 |
②当DF=PD时,
(28-t)2+t2 |
(28-3t)2 |

t=0(舍去),t=16>
28 |
3 |
③当PF=CF时,由勾股定理得:[28-
1 |
2 |
1 |
2 |

即14+
3 |
2 |
3 |
2 |
14+
3 |
2 |
3 |
2 |
综合上述:当t=21-7
5 |
即△DPF能为一个等腰三角形,此时t的值是21-7
5 |
点评:本题考查了勾股定理,梯形和三角形的面积,等腰三角形的性质和判定等知识点的应用,也考查二次函数的解析式,最值问题,以及坐标的变换的应用.

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