Question

（2012•香洲区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为28，动点P从A开始在线段AD上以每秒3个单位长度的速度向点D运动（点P到达点D时终止运动），动直线EF从AD开始以每秒1个单位长度的速度向下平行移动（即EF∥AD），并且分别与DC、AC交于E、F两点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t 秒．
（1）t为何值时，梯形DPFE的面积最大？最大面积是多少？
（2）当梯形DPFE的面积等于△APF的面积时，求线段PF的长．
（3）△DPF能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有的t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出AO=OF=t，DP=AD-AP=28-3t，DE=AO=OF=t，EF=OE-OF=28-t，根据面积公式求出即可；
（2）根据面积相等得出关于t的方程，求出方程的解即可；
（3）分为三种情况：①DP=PF，②DF=DF，③PF=DF，根据勾股定理即可得出关于t的方程，求出即可．

解答：解：（1）
∵在正方形ABCD中，∠BAC=45°，∠BAD=90°，
∴∠OAF=45°=∠OFA，
∴AO=OF=t，
∵DP=AD-AP=28-3t，DE=AO=OF=t，EF=OE-OF=28-t，
∴S_梯形DPFE=

1

2

（DP+EF）×ED，
即S=

1

2

（28-3t+28-t）t
S=-2t²+28t=-2（t-7）²+98，
∵-2＜0，
∴S有最大值，当t=7时，S的最大值是98；
（2）∵梯形DPFE的面积等于△APF的面积，
∴-2t²+28t=

1

2

•3t•t，
解得：t=0（此时不存在梯形DPFE，舍去），t=8，

过F作FN⊥AD于N，
则OF=AN=t=8，NP=3t-t=2t=16，
由勾股定理得：PF=

t2+(2t)2

=

5

t=8

5

；
（3）分为三种情况：①当PF=DP时，
则28-3t=

5

t，
t=21-7

5

；
②当DF=PD时，

(28-t)2+t2

=

(28-3t)2

t=0（舍去），t=16＞

28

3

舍去；
③当PF=CF时，由勾股定理得：[28-

1

2

（28-3t）]²+t²=t²+[

1

2

（28-3t）]²，
即14+

3

2

t=14-

3

2

t，解得：t=0（舍去）；
14+

3

2

t）=-（14-

3

2

t），此方程无解；
综合上述：当t=21-7

5

时，
即△DPF能为一个等腰三角形，此时t的值是21-7

5

．

点评：本题考查了勾股定理，梯形和三角形的面积，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，也考查二次函数的解析式，最值问题，以及坐标的变换的应用．