Question

如图，已知正方形ABCD的边长为8cm，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．当EF=8cm时，△AEF的面积是

32

cm²；当EF=7cm时，△EFC的面积是

8

cm²．

Answer 1

分析：把△ADF顺时针旋转90°得到△ABG，根据旋转的性质可得AF=AG，再求出∠EAG=∠EAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△AEG全等，根据全等三角形对应边相等可得EG=EF，然后求出△AEG的面积，再根据全等三角形的面积相等解答；
设CE=x，先表示出BE，再表示出GB，即DF，然后表示出FC，在Rt△CEF中，利用勾股定理列式整理表示出CE•FC，再根据三角形的面积解答即可．

解答：解：如图，把△ADF顺时针旋转90°得到△ABG，
则AF=AG，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
∵在△AEF和△AEG中，

AF=AG ∠EAG=∠EAF AE=AE

，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴EG=EF，
∵EF=8cm，AB=8cm，
∴S_△AEG=

1

2

×8×8=32cm²，
∴△AEF的面积是32cm²；
设CE=x，则BE=BC-CE=8-x，
∵EF=7cm，
∴DF=BG=EG-BE=7-（8-x）=x-1，
∴FC=CD-DF=8-（x-1）=9-x，
在Rt△CEF中，CE²+FC²=EF²，
即x²+（9-x）²=7²，
整理得，x²-9x+16=0，
所以，x（9-x）=16，
△EFC的面积=

1

2

CE•FC=

1

2

x（9-x）=

1

2

×16=8cm²．
故答案为：32，8．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，旋转的性质，作出旋转图形构造出全等三角形是解题的关键，第二问的求解比较巧妙，把一元二次方程整理出CE•FC的形式是关键，不需要求出CE的长度．