Question

如图①，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（4）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．

解答：解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）

（2）由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x，
根据题意得：（4-x）²+2²=x²解得：x=

5

2

此时，AD=

5

2

，D(2，

5

2

)（2分）
设直线CD为y=kx+4，把D(2，

5

2

)代入得

5

2

=2k+4（1分）
解得：k=-

3

4

∴设直线CD解析式为y=-

3

4

x+4（1分）

（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD=

5

2

，PD=BD=4-

5

2

=

3

2

，AP=BC=2
由AD×PQ=DP×AP得：

5

2

PQ=3
∴PQ=

6

5

∴xP=2+

6

5

=

16

5

，把x=

16

5

代入y=-

3

4

x+4得y=

8

5

此时P(

16

5

，

8

5

)
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图
同理可求得：CQ=

8

5

∴OQ=4-

8

5

=

12

5

此时P(-

6

5

，

12

5

)
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P₁（0，0）；P2(

16

5

，

8

5

)；P3(-

6

5

，

12

5

)．
（写对第一个（2分），二个（3分），3个且不多写（4分），写对4个且多写得（3分）．）

点评：本题主要考查对于一次函数图象的应用以及等腰三角形和全等三角形的判定的掌握．