Question

如图．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．
证明：（1）OA′+OB′+OC′＜BC；
（2）OA′+OB′+OC′≤max{AA′，BB′，CC′}．

Answer 1

分析：过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以OA′＜max{OX，OY}≤XY．同理可求BX＞XS=OC′，CY＞OB′．

解答：证明：（1）过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T，由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以OA′＜max{OX，OY}≤XY，
又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，
所以BX＞XS=OC′，
同理CY＞OB′，
所以OA′+OB′+OC′＜XY+BX+CY=BC，

OA′

AA′

=x，

OB′

BB′

=y，

OC′

CC′

=z，
由于x+y+z=

OA′

AA′

+

OB′

BB′

+

OC′

CC′

=1，
所以OA′+OB′+OC′=x•AA′+y•BB′+z•CC′，
≤（x+y+z）max{AA′，BB′，CC′}，
=max{AA′，BB′，CC′}．

点评：本题考查相似三角形的判定和性质以及作出适当的辅助线求解，本题的关键是作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．