Question

8．已知：矩形ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，点E在AD上，AE=6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：
步骤1折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图1）；
步骤2过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图2）
（1）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q₁，点Q₁的坐标是（6，6）；
（2）当PA=12厘米时，在图3中画出MN，PT（不要求尺规作图，不写画法），并求出MN与PT的交点Q₂的坐标；
（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列交点Q₁，Q₂，Q₃，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）如图2中，连接EP．首先求出EP，根据等腰直角三角形的性质，可知△PFQ₁是等腰直角三角形，求出PQ₁即可．
（2）首先求出PE，再证明△APE∽△FQ₂P，得$\frac{PE}{P{Q}_{2}}$=$\frac{AE}{PF}$，由此即可求出PQ₂解决问题．
（3）这些点形成的图象是一段抛物线．利用待定系数法可得函数关系式：y=$\frac{1}{12}$x²+3（0≤x≤26）．

解答 解：（1）如图2中，连接EP．

在Rt△APE中，AE=6．AP=6，∠EAP=90°
∴EP=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴EF=PF=3$\sqrt{2}$，∠APE=∠FPQ₁=45°，
∴PF=FQ₁=3$\sqrt{2}$，
∴PQ₁=$\sqrt{2}$PF=6，
∴Q₁（6，6）．
故答案为（6，6）．

（2）如图3中，

∵∠APE+∠Q₂PF=90°，∠Q₂PF+∠PQ₂F=90°，
∴∠APE=∠PQ₂F，∵∠A=∠PFQ₂=90°，
∴△APE∽△FQ₂P，
∴$\frac{PE}{P{Q}_{2}}$=$\frac{AE}{PF}$，
∴$\frac{6\sqrt{5}}{P{Q}_{2}}$=$\frac{6}{3\sqrt{5}}$，
∴PQ₂=15，
∴Q₂（12，15）．

（3）这些点形成的图象是一段抛物线．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把（0，3），（6，6），（12，15）代入解析式得到
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{36a+6b+c=6}\\{144a+12b+c=15}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{12}}\\{b=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
函数关系式：y=$\frac{1}{12}$x²+3（0≤x≤26）．

点评 本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建二次函数解决实际问题，属于中考压轴题．