题目内容
【题目】思维启迪：
（1）如图1，
，
两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点的点
，连接
，取的中点
（点可以直接到达点），利用工具过点作
交
的延长线于点
，此时测得
，那么，间的距离是______
．
思维探索：
（2）在
和
中，
，
，且
，
．将绕点顺时针旋转，把点
在
边上时的位置作为起始位置（此时点和点位于的两侧），设旋转角为
，连接
，点是线段的中点，连接
，
．
①如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是_______；_______．
②如图3，当
，点落在
边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
③当
时，若
，
，请直接写出
的值．
【答案】（1）200；（2）①
，
；②，，证明见解析；③
．
【解析】
（1）证明
即可得到答案；
（2）①延长EP交BC于F，证明
可得
是等腰直角三角形，即可证明PC=PE，PC⊥PE． ②作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，证明 ，结合已知得BF=DE=AE，再证明
，可得是等腰直角三角形，即可证明PC=PE，PC⊥PE． ③作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，由旋转旋转可知，∠CAE=150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，得∠FBC=∠EAC，同②可证可得PC=PE，PC⊥PE，再由已知解三角形求解
，即可求出
解：（1）
为
的中点，
故答案为：
（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是，．
理由如下：如图，延长EP交BC于F，
为
的中点，
∴（AAS），
∴PF=PE，BF=DE，
又∵AC=BC，AE=DE，
∴FC=EC， 又∵∠ACB=90°，
∴是等腰直角三角形，
∵EP=FP，
∴PC=PE，PC⊥PE．
故答案为：
②，．
证明如下：如图，过点
作
交
延长线于点
，连接
，
．
，
点是线段的中点，
，
，
，
，
．
，
．
，
，
．
又
，
．
，
，
．
在
中，
，
，
．
③如图，作BF∥DE，交EP延长线于点F，
连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，
当α=150°时，由旋转旋转可知，∠CAE=150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，
∴∠FBC=∠EAC=α=150°，
同②可得（AAS），
同②可得
同②可得
是等腰直角三角形，
CP⊥EP，CP=EP=
在
中，∠EAH=30°，AE=DE=1，
∴HE=
，AH=
又∵AC=BC=3，
∴CH=
∴
∴
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