Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′.

（1）若直线DA交BC′于点F，求证：EF=BF；

（2）当AE=时，求证：△AC′D′是等腰三角形；

（3）在点E的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.

【解析】

（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：∠FBE＝∠FEB，则EF＝BF；

（2）如图1，先根据勾股定理计算BE的长，根据直角边和斜边的关系可得：∠ABE＝30°，则△BEF是等边三角形，最后根据平行线分线段成比例定理，由FC'∥AH∥ED'，得C'H＝D'H，从而得结论；

（3）如图1，根据三角形面积公式可知：当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，计算AC'＝2，根据三角形面积公式可得结论．

解：（1）证明：如图1，由折叠得：∠FBE＝∠CBE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠FEB＝∠CBE，

∴∠FBE＝∠FEB，

∴EF＝BF；

（2）在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝，

∴BE＝，

∴∠ABE＝30°，

∴∠AEB＝60°，

由（1）知：EF＝BF，

∴△BEF是等边三角形，

∵AB⊥EF，

∴AE＝AF，

过A作AH⊥C'D'，

∵FC'⊥C'D'，ED'⊥C'D'，

∴FC'∥AH∥ED'，

∴C'H＝D'H，

∵AH⊥C'D'，

∴AC'＝AD'，

∴△AC′D′是等腰三角形；

（3）如图1，S△C'D'A＝AHC'D'＝×4C′D′＝2C'D'，

当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，

如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，

由折叠得：BC＝BC'＝6，∠C＝∠C'＝90°，

∵AB＝4，

∴AC'＝64＝2，

△AC′D′面积的最小值＝AC′C′D′＝×2×4＝4．