Question

若抛物线y1=a1x2+b1x+c1与y2=a2x2+b2x+c2满足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k(k≠0，1)，则称y₁，y₂互为“相关抛物线”．给出如下结论：
①y₁与y₂的开口方向，开口大小不一定相同；
②y₁与y₂的对称轴相同；
③若y₂的最值为m，则y₁的最值为k²m；
④若y₂与x轴的两交点间距离为d，则y₁与x轴的两交点间距离也为d．
其中正确的结论的序号是

①②④

（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

分析：根据相关抛物线的条件，a₁、a₂的符号不一定相同，即可得到开口方向、开口大小不一定相同，代入对称轴-

b

2a

和

4ac-b2

4a

即可判断②、③，根据根与系数的关系求出与x轴的两交点的距离|g-e|和|d-m|，即可判断④．

解答：解：由已知可知：a₁=ka₂，b₁=kb₂，c₁=kc₂，
①根据相关抛物线的条件，a₁、a₂的符号不一定相同，所以开口方向、开口大小不一定相同，故本选项错误；
②因为

a1

a2

=

b1

b2

=k，代入-

b

2a

得到对称轴相同，故本选项错误；
③因为如果y₂的最值是m，则y₁的最值是

4a1c1- b 2 1

4a1

=k•

4a2c2- b 2 2

4a2

=km，故本选项错误；
④因为设抛物线y₁与x轴的交点坐标是（e，0），（g，0），则e+g=-

b1

a1

，eg=

c1

a1

，抛物线y₂与x轴的交点坐标是（m，0），（d，0），则m+d=-

b2

a2

，md=

c2

a2

，可求得：|g-e|=|d-m|=

b 2 1 -4a1c1 a 2 1

，故本选项正确．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值等知识点解此题的关键是能根据相关抛物线的条件进行判断．