Question

OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。
（1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的关系式；
（2）如图②在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E′；
①求折痕AD所在直线的关系式；
②再作E′F∥AB，交AD于点F，若抛物线y=-x²+h过点F，求此抛物线的关系式，并判断它与直线AD的交点的个数；
（3）如图③，一般地，在OC、OA上选取适当的D′，G′，使纸片沿D′G′翻折后，点O落在BC边上，记为E″，请你猜想：折痕D′G′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。

Answer 1

解：（1）由折法知，四边形OCEG是正方形，
∴OG=OC=6，
∴G（6，0），C（0，6），
设直线CG的关系式为y=kx+b，则0=6k+b，6=0+b，
∴k=-1，b=6，
∴直线CG的关系式为y=-x+6；
（2）①Rt△ABE′中，S²=（6-S）²+2²，
∴S=，则D（0，），
设直线AD：y=k′x+，由于它过A（10，0），
∴k′=-，
∴直线AD：y=-x+；
②∵E′F∥AB，E′（2，6），
∴设F（2，y_F），
∵F在AD上，
∴y_F=-，
又∵F（2，）在抛物线上，
∴×2²+h，
∴h=3，
∴抛物线的关系式为y=-x²+3，
将y=-x+代入y=-x²+3，
得，
∵，
∴直线AD与抛物线只有一个交点；
（3）可以猜想：（a）折痕所在直线与抛物线y=-x²+3，得-x²+x-3=0，
∵，
∴折痕CG所在直线的确与抛物线y=-x²+3只有一个交点，或（b）在题图①中，D′即C，E″即E，G′即G，交点F′也为G（6，0），
∵当x=6时，y=-x²+3=-×6²+3=0，
∴G点在这条抛物线上。