Question

如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，且线段OA、OC（OA＞OC）是方程x²-18x+80=0的两根，将边BC折叠，使点B落在边OA上的点D处．
（1）求线段OA、OC的长；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标及折痕CE的长；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用式子相乘法把方程左边分解为两一次因式积的形式，然后根据两数相乘积为0，两数中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程，分别求出方程的解得到原方程的解，根据OA大于OC，即可得到OA及OC的长；
（2）由折叠可知三角形EBC与三角形EDC全等，根据全等三角形的对应边相等得到EB=ED，CB=CD，又矩形ABCD对边相等，从而得到CD的长，再由OC的长，利用勾股定理求出OD的长，进而求出AD的长，在直角三角形AED中，设EA=x，则DE=8-x，再由AD的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到AE的长，即为E的纵坐标，而OA的长即为E的横坐标，确定出E的坐标，同时得到BE的长，再由BC的长，在直角三角形BCE中，利用勾股定理求出折痕CE的长；
（3）存在，应该有两条如图：
①直线BF，根据折叠的性质可知CE必垂直平分BD，那么∠DGP=∠CGF=90°，而∠CFG=∠DPG（都是∠OCP的余角），由此可得出两三角形相似，那么可根据B、D两点的坐标求出此直线的解析式．
②直线DN，由于∠FCO=∠NDO，那么可根据∠OCE即∠BEC的正切值，求出∠NDO的正切值，然后用OD的长求出ON的值，即可求出N点的坐标，然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式．

解答：解：（1）方程x²-18x+80=0，
因式分解得：（x-8）（x-10）=0，
即x-8=0或x-10=0，
解得：x₁=8，x₂=10，
∴OA=10，OC=8；

（2）由折叠可知：△EBC≌△EDC，∴EB=ED，
∴CB=CD，又矩形OABC，∴AB=OC=8，
∴CB=CD=OA=10，又OC=8，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：OD=

CD2-OC2

=6，
∴AD=OA-OD=10-6=4，
又BE+EA=AB=8，且EB=ED，
∴DE+EA=8，即DE=8-EA，
在Rt△AED中，设AE=x，则DE=8-x，又AD=4，
根据勾股定理得：（8-x）²=x²+16，
整理得：16x=48，
解得：x=3，
则E的坐标为（10，3），又C（0，8），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
将C与E坐标代入得：

b=8 10k+b=3

，
解得：k=-

1

2

，b=8，
则直线CE解析式为y=-

1

2

x+8，
令y=0求出x=16，即P坐标为（16，0）；
此时BE=BA-EA=8-3=5，又BC=OA=10，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：
CE=

BE2+BC2

=5

5

；

（3）存在．满足条件的直线l有2条：y=-2x+12，y=2x-12．
如图2：准确画出两条直线．

点评：此题综合了一元二次方程的解法，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定，以及一次函数的性质，考查了学生综合解决问题的能力，出现折叠问题时，常常利用全等三角形的性质及勾股定理来解决问题，本题第三问属于探究存在性问题，一般利用假设验证法，即先假设结论成立，看是否导致矛盾，还是达到与已知条件相符，从而确定探究的结论是否存在．