题目内容
【题目】阅读下列材料、并完成任务.
无限循环小数化分数
我们知道分数
写出小数形式即
，反过来，无限循环小数写成分数形式即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.
先以无限循环小数
为例进行讨论.
设
，由
可知，
，所以
，解方程，得
，于是，得
.
再以无限循环小数
为例，做进一步的讨论.
无限循环小数
，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法.
设
，由可知，
.
所以
.解方程，得
，于是，
.
类比应用（直接写出答案，不写过程）
①
.②
.③
.
能力提升
将
化为分数形式，写出过程.
拓展探究
①
；
②比较大小
1（填“
”或“
”或“
”）；
③若
，则
.
【答案】类比应用:①
；②
；③
；能力提升:
;拓展探究：①
;②
；③
【解析】
类比应用：根据
转化分数的方法，设
=x，仿照例题的解法即可得出结论；根据
转化分数的方程，分别设
=x，
=x，仿照例题的解法即可得出结论；
能力提升：设
=x,由1000x-x=213求解；
拓展探究：①设
x,则10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999，即可得出结果；②先将
化成分数即可得出结果；③设
=x,
y①,则1000x =
②,由②-①式可得出结果.
类比应用
解：①设=x，则
，所以
，解方程，得
，得=；
②设=x，，
.所以
.解方程，得
，=；
③设=x，则，
.所以
.解方程，得
.
故答案为：①；②；③；
能力提升
解：设
，
，
，
，
，
于是.
拓展探究：
①设x,则10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999,所以x=;
②设x,则10x=9.9999…,得10x-x=9,解得x=1,故=1；
③设=x,y,
则1000x=,
所以1000x-y=138,
又x=
，所以y=.
故答案为：①；②=；③.
