Question

7．如图1，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，AB、EF的中点均为O，连接BF，CD，CO．
（1）求证：CD=BF；
（2）如图2，当△DEF绕O点顺时针旋转的过程中，探究BF与CD间的数量关系和位置关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得CO=BO，OD=OF，则CD=OC+OD=OB+OF=BF；
（2）连结OC、OD，BF与CD相交于H，如图2，根据等腰直角三角形的性质得OC⊥AB，OD⊥EF，则∠BOF=∠DOC，接着可证明△BOF≌△COD得到BF=CD，∠OBF=∠OCD，然后证明∠CHB=∠COB=90°得到BF⊥CD．

解答 解：（1）∵△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，
∴AB、EF的中点均为O，
∴CO=BO，OD=OF，
∴CD=OC+OD=OB+OF=BF；
（2）解：BF=CD，BF⊥CD．
理由如下：
连结OC、OD，BF与CD相交于H，如图2，

∵△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，OD⊥EF，
∴∠BOC=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOF=∠DOC，
在△BOF和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOF=∠COD}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD，
∴BF=CD，∠OBF=∠OCD，
∴∠CHB=∠COB=90°，
∴BF⊥CD．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、求得三角形的性质与判定定理，解决本题的关键是利用等腰三角形的性质，证明三角形全等．