Question

如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC=2，∠ABC=30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=60°，则∠OAD=30°，所以OD=

1

2

OA=1，AD=

3

OD=

3

，再根据垂径定理得AD=BD，所以AB=2

3

；
（2）由（1）∠BOC=60°，则△OCB为等边三角形，所以BC=OB=OC，∠OBC=∠OCB=60°，而CP=CO=CB，则∠CBP=∠P，可计算出∠CBP=30°，所以∠OBP=∠OBC+∠CBP=90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．

解答：（1）解：连接OA、OB，如图，
∵∠ABC=30°，OP⊥AB，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=

1

2

OA=

1

2

×2=1，
∴AD=

3

OD=

3

，
又∵OP⊥AB，
∴AD=BD，
∴AB=2

3

；
（2）证明：由（1）∠BOC=60°，
而OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC=OB=OC，∠OBC=∠OCB=60°，
∴C是OP的中点，
∴CP=CO=CB，
∴∠CBP=∠P，
而∠OCB=∠CBP+∠P，
∴∠CBP=30°
∴∠OBP=∠OBC+∠CBP=90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切线．

点评：本题考次了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．